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机械控制

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

时间:2017-09-27 21:27:00   作者:   来源:   阅读:12   评论:0

7-4 线性控制系统的能控性和能观性

    能控性和能观性的概念

状态方程:描述输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3引起状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的变化规律;

输出方程:描述由状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3引起的输出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的变化规律。

能控性:定性的描述输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3对状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的控制能力;

能观性:定性的描述输出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3对状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的反映(观测)能力。

    研究内容:定义,判别准则,二者对偶关系,能控和能观标准型。

一、能控性的定义

    考虑到能控性所考察的只是系统在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的控制下机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的转移情况,而与输出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3无关,故讨论能控性时,只需要从系统的状态方程出发。

(一)线性连续定常系统的能控性定义

1、定义1

对于状态方程为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的线性连续定常系统,如果存在一个分段连续的输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,能在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3有限时间区间内,使系统由某一状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3转移到指定的任一终端状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,则称此状态是能控的。

若系统的所有状态都是能控的,则称此系统是状态完全能控的,简称系统是能(可)控的;或使系统由任一初始状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3转移到指定的任一终端状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,则称此系统是能(可)控的,。

2、几何解释(以二阶系统为例)

⑴ 系统某一状态能控

若P点状态能在输入作用下驱动到任一指定状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,则P点状态是可控状态。

⑵ 系统的状态完全能控

如果能控状态“充满”整个状态空间,即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,使将在有限时间区间内,将状态转移到状态空间的任一指定状态,则该系统称为状态完全能控。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

按照上述能控性的定义,状态完全能控的定义是把系统的初始状态取为状态空间的任意有限点,而目标状态又视为状态空间的任意有限点。

初态

终态

任意非零有限点

零点

零点

任意非零有限点

这种定义不便于后面的判别准则写成解析形式,为了便于数学处理,又不失一般性,我们把上述定义分为两种情况来叙述:

①系统的初始状态为状态空间中的任意非零有限点,而终端(目标)状态规定为状态空间原点,于是可控性定义叙述为:

定义2:对于给定线性定常系统机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,如果存在一个分段连续的输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,能在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3有限时间内,将系统从任一(非零)初始状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3转移到零状态,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,则系统是状态能控的,简称是能控的。(如果在某一初始状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3转移到零点,则称此状态是可控的)

②把系统的初始状态规定为状态空间的原点机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,终端(目标)状态规定为任意非零有限点,于是它有如下可达性定义:

定义3:对于给定线性定常系统机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,若存在一个分段连续的输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,能在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3有限时间内,将状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3从零状态转移到任一指定的(非零)终端(目标)状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,则称系统是可达的。

(可以证明)对于线性连续定常系统,可控性和可达性是等价,即如果可控,那么一定能找到机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3将任一非零初态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3。由于两者等价,那么也一定能找到机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,将初始零状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3终态。

对于任意非零有限点到任意非零有限点,我们可以理解为是从任意非零有限点机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3零点机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3任意非零有限点,因为可控和可达等价,所以定义2实质上即为定义1。

说明:

①基于上述原因,以后讨论能控性时,规定初态为任意非零有限点(也不包括无穷远点,吴麒书),终态为状态原点;

②在讨论能控性,我们是定性讨论,即关心是否存在某个分段连续的输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3可把任意非零初始状态转移到零点,并不要求算出具体的输入和状态的轨迹。

二、(线性定常系统)能控性判据(判别准则)

最基本判据有两种形式:

1、先进行状态变换机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3约旦标准型机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,再根据机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵判别;

2、直接根据原状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵判别。

(一)可化为约旦(包括对角化)标准型系统的能控性判据

定理1:设线性定常系统机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3具有互异特征值,经非奇异变换为对角线标准型机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

其中,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

则其状态完全可控的充要条件是机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵中所有(各)行元素不全为零。

定理2:设线性定常系统机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3具有重特征值,经非奇异变换为约旦标准型 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

其中 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

则其状态完全可控的充要条件是(相同特征值下的)每个约旦块最后一行对应的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3中相应各行线性无关。

这是因为前面讲到,在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的特征值包含重根时,其特征向量为1(其余为广义特征向量);但如以前曾提到过(本书未讲,在P83页才开始讲),也有可能重根对应的特征向量大于1(=2,3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3),既然做为定理叙述,也考虑了这种情况。

特殊地

⑴每个重特征值,其独立特征向量为1(其余为广义特征向量),即每个重根只对应一个约旦块的情况下,每个约旦块最后一行对应的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3中相应各行的元素不全为零。

⑵对其余单根,(对应约旦标准型的一个值)看作约旦块的特例)可做同样处理。

本定理1、2可由下面判据二(直接从机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵判别)的判据证得,此处不证,下面举例进一步说明定理的应用。

注意:对于重特征值,即使机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵呈现对角线标准型,也不能用这个判据。尤昌德书115页有论述,114页有例题说明。

[例3-1] 判断下列系统的能控性

1.                     机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

2.              机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

3.              机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

4.              机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

解:由上述定理可知(注意所有题目均为重根,对应1个约旦块的情形)

显然

1、约旦块对应机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵最后元素机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,单根机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3对应机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,故状态完全能控。

2、两个约旦块,第一个约旦块对应机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3最后一行元素为3和0,不全为零,第二个约旦块对应最后一行元素1和2,不为零,故状态完全能控。

3、第一个约旦块最后一行对应机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵的行元素全为0,故状态不完全能控。

4、第二个约旦块最后一行对应机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵的行元素为零,故状态不完全能控。

[例3-2]有系统如下,试判断其是否能控  

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

解:将其变换成约旦型,先求其特征根

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

得  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3; 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

再求变换矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3 ,   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3 

得变换后的状态方程

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

第二个特征值机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3对应的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵相应行元素为零,故系统是不能控的。

[例3-3]有系统如下,判断其是否能控。机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

解:因为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

又因 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,特征方程无零解,故在以下讨论中均设机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3非零。

(事实上,如机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3一个或多个为零不影响结果)

分三种情况:

ⅰ) 若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的特征值机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3互异,将其变换为对角线阵时,交换矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

从而机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵各元素不为零,系统为完全能控。

【(1)如机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,有一个零根,但如上不影响结果;(2)如机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3必有两个零根,不符合这种情况;(3)机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3有三重零根,,不符合这种情况。】

ⅱ) 若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵的特征值有二重根,不失一般性,设机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,则可变换为约旦标准型,变换矩阵为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

从而各约旦块(两个)最后一行对应的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵中的行各个元素不为零,由定理2,系统为完全能控。

【(1)如机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,有一个零根,无论机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3谁为零,如上均不影响结果;(2)如机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3必有两个零根,只能是机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3不为零,如上不影响结果;(3)机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3有三重零根,,不符合这种情况。】机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

ⅲ) 若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的特征值机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,则变换矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3          机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3             机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

为一个约旦块,且该约旦块最后一行对应的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3行元素不为零,由定理2,故系统亦能控。

【(1)如机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,不符合这种情况;(2)如机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3必有两个零根,不符合这种情况;(3)机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3有三重零根,如上不影响结果。】(二)直接从机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵的能控性判据

定理3 线性定常系统 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,其状态完全可控的充要条件是由机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵所构成的可控性判别矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3 满秩,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

证明:由式(2-27)得到该系统的解为:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

再由能控性的定义,若系统能控,则对于任意初始状态向量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3应能找到输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,使之在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3有限时间区间内转移到零状态。

于是,上式中令机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,且机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,从而

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

即  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

由P53页性质3,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

由本讲稿性质5,得 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

由凯莱—哈密顿定理,得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

代入上面(*)积分表达式得到,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3维向量,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3维向量,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3定积分机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3也为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3维向量,其中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

代入上式 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3维矩阵,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3维列向量

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

上式表示该矩阵方程机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3个方程,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3个未知数的非齐次方程组,要使系统能控,应能解出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3(每一个机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3维向量),由线性代数知,该非齐次方程组有解的充要条件是它的系数矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3和增广矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的秩相等,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3是任意给定,欲使上式成立,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的秩必须满秩,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

由于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3用于判别系统的能控性,称机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3为系统的可控性矩阵。

说明:

① 多输入系统,计算机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的秩一般较复杂,由于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3并非方阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,而机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3是方阵,二者的非奇异性等价,有时用计算机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的秩来确定机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的秩;

② 为方便计算,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3矩阵也可记作机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3满秩可证机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3 能控。

[例7-4] 同例7-3,判断其能控性。

解:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3 不论机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3取值如何,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,系统总是能控的。

而具有友矩阵形式的系统矩阵,称为能控标准型。

[不讲]:单输入系统中,可从输入和状态矢量间的传递函数阵确定能控性的充要条件。在第一章中已经得机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3,其系统完全能控的充要条件是机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3没有零极点对消现象,否则被取消的极点就是不能控的模式。

多输入系统一般个状态变量存在耦合现象,情况较复杂。

[例3-8] 判别下列系统的能控性

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

解:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3

由前三列易知,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3为满秩

当然也可计算机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3来判别机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3从而确定机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3的秩。

此外,对多输入系统,有时并不一定计算出全部机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3阵,只要有足够的列能求出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3是满秩就可以了(但如为降秩,不能证明问题,因后面的列仍有可能使机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-3满秩)。

一般地,多输入系统,系统的能控条件较易满足,因为状态向量之间互相存在耦合。


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