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机械控制

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

时间:2017-09-27 21:25:08   作者:   来源:   阅读:8   评论:0

7-3 控制系统状态空间表达式的解

    在上一章建立了控制系统的状态空间表达式后,下面研究它的解的问题。

一、线性定常齐次状态方程的解(自由解)

(一)自由解的概念

所谓系统的自由解,是系统输入为零时,由初始状态引起的自由运动。即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2在初始状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2下的自由运动。

(二)关于自由解的定理

定理:设有齐次状态方程

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2                     <2-1>

若初始时刻机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时的状态给定为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,则该齐次状态方程(2-1)有唯一确定解               机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2           <2-2>

若初始时刻从机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2开始,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,则其解为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2  ;         <2-3>

其中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:设微分方程机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的解为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的矢量幂级数形式,即

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2     <2-4>

将该式代入<2-1>,得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2              <2-5>

上式应对任意时刻机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2都成立

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的同次幂项的系数应相等,即

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

又在式<2-4>中令机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,得 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

将这些结果代入<2-4>中,得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2       <2-6>

令 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2         <2-7>

称为矩阵指数函数。

于是<2-6>式表示为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

同理有机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

二、矩阵指数函数——状态转移矩阵

(一)状态转移矩阵

齐次矩阵微分方程(2-1)的自由解为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

从这个解的表达式可知,它反映了从初始时刻的状态向量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,到任意机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时刻的状态向量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的一种向量变换关系,变换矩阵就是矩阵的指数函数机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2。但需注意机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2不是一个常数矩阵,它的元素一般是时间 t 的函数,即是一个机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时变函数矩阵。

1、状态转移矩阵的概念(定义)

由于在不同的时刻机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,对应不同的状态,即状态在不断转移,也称机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2状态转移矩阵,记为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2表示机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的转移矩阵,而机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2表示机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的转移矩阵。

2、用状态转移矩阵表示的齐次状态方程的解

根据状态转移矩阵的定义,即得用状态转移矩阵表示的齐次状态方程的解

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 或 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

3、状态转移矩阵的几何意义

为了便于说明问题,以二维状态矢量为例,并用图形表示在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,若以此为初始条件,且已知机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,那么在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时的状态将为 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

若已知机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,那么机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时的状态将为 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

即从状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2开始,通过机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2转移到机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,再通过机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2转移到机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2在状态空间中描绘出一条轨迹。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2为初始时刻,状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2即为初始状态,从状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2转移到机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的状态为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

而  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

对比从机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2直接转移到机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2(状态与过程无关,只与所处状态有关)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2   这就是组合性质

或  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

(二)状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质

1、性质一

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

这就是组合性质。

证明:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2   证毕

另:左端:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

右端:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

即从机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2转移到 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 等于  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2转移到0,再从0转移到 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的状态组合

反之,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

2、性质二

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

这里显然的,因为状态矢量从时刻机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2又转移回到时刻机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,当然状态矢量不变。

3、性质三   (可逆性)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

即  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

根据逆矩阵的定义,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 或 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

4、性质四

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

有的书,把本性质作为状态转移矩阵的定义给出,即如果矩阵满足机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,称机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2为状态转移矩阵。

证明:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

5、性质五 (传递性)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

6、性质六

对于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2方阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,当且仅当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时,有机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2;而当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时,则机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2。该性质表明,除非机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2矩阵是可交换的,否则它的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不相等(与标量函数不同)。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

而 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2显然要使上面两式相等,当且仅当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2成立。

(三)几个特殊的矩阵指数函数

为了便于以后的计算,下面介绍几个特殊的矩阵指数函数。

1、若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2为对角线矩阵,即

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

则  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

2、若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2能够通过非奇异变换予以对角线化,即存在非奇异变换矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,使机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,则

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

用数学归纳法易证

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

3、若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2为约旦矩阵,即

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

则  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-24、若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2可化为约旦标准型(通过非奇异交换)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,其中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2为约旦标准型

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

同2的证明类似

如果A=机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

其中A1  A2    Al为约旦快。

则 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

尤昌德书P73

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

5、若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

(四) 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的计算

1、根据机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的定义直接计算

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

例2-1已知机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2    机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

由此可见,该方法手工计算繁琐,且不易得到解析形式的结果,但计算机编程计算较易。

2、变换机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2为约旦标准型

(1) 若机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2特征根互异, 则由第一章P32知存在非奇异变换阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,将机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2变换为对角线矩阵的变换阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,则由P54(2-18)知,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

该方法要求:①特征值,从而求得机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2矩阵;②变换矩阵。

例2-2 同例2-1,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

解:①先求特征值 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

②再由第一章求变换矩阵的方法,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

本例取机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2(取值最终不会影响机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的结果)

再有机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

故取机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

*机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

这样

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

(2)机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2特征值有重根,则由P34知存在非奇异变换矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,将机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2变换成为约旦标准型机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,则由P54的定理3知,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,同样该方法要求:①特征值;②变换矩阵。

例2-3   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2;求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

解: 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 ;         *机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

问题仍然是需求出变换矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2。按第一章所述的方法可求得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2;           机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-23、利用拉氏反变换法求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:设齐次微分方程机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2两边取拉氏变换,即


上式两边取拉氏反变换,从而得到齐次微分方程的解

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

例2-4 同例2-1 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,试用拉氏反变换求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

解:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

注:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

4、应用凯莱-哈密顿定理求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

①凯莱-哈密顿定理

方阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2满足其自身的特征方程,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

②由凯莱-哈密顿定理,方阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2满足其自身的特征方程,即

故  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的线性组合。

同理  

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2   以此类推,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2都可用机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2表示。

一般地,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2定义中的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2以上的幂次项可用机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的组合表示。

法Ⅰ

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2其中           机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

为关于t的各次幂的多项式。

【法Ⅱ:尤昌德书75页,不讲机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2:后面求能观性第二判别准则法Ⅱ要用的公式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,其中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

注意:此处机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2不是系统不变量

证明:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2  

一般地,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时,有部分机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

右边机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2显然左边=右边

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,令机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

也得到:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 证毕】

[例2-5 ] 同 [例2-1],已知机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

解:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的特征方程;

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

按凯莱-哈密顿定理,有机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

所以  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

*  

以此代入下式机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2中的相应项中,即可消去机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的2次及2次以上的次幂

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 

由此计算过程看见求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,一是不容易得到解析表达式,二是当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的维数较高时,计算繁琐,下面给出计算机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2的一般公式。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2计算公式

(i)*的特征值互异时,则

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2  (2-23)

证明 根据机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2满足其自身特征方程式的定理,可知特征值机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2式可以互换,因此,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2也必满足式(2-22),从而有

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

上式对机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2求解,即得式(2-23)。

(ii)*的特征值均相同,为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时,则机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2计算公式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2(2-24)

证明:同上,由机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,满足(2-22)式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

将上式对参变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2(看作变量)求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2次导数,依次得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2 

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

将上面的n个方程反序重新列写,即

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

写成矩阵形式为:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

解出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2即得

[例2-6] 同例2-1,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2;求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

解:同例2-4 ,知机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2为互异根,按式(2-23)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

[例2-7] 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

解:同例2-3,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

重根部分按式(2-24)求

单根部分按式(2-23)求

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2  (其中:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

三、线性定常系统非齐次方程的解

非齐次矩阵微分方程机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

1、所谓非齐次,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,线性定常系统在控制机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2作用下的响应做强迫(制)运动,数学上表征为非齐次微分方程。

2、解的表达式:当初始时刻机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,初始状态机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时;其解为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

当初始时刻为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,初始状态为 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时,其解为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

式中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

即其解有两部分组成,等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动,第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。

证明(法一):

将状态方程写成  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

等式两边同左乘机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,得

即                        机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2间积分,有

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

两边同乘以机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

同理,若在机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2间积分有

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明(法二):

对状态方程两端进行拉氏变换求得,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

即            机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

上式左乘机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,得 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

难点:由P56页     机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

由卷积定理,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

取拉氏反变换,即得     机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

例2-8求下述系统在单位阶跃函数作用下的解

单位阶跃即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2             机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

解:(1)先求机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

从例2-2、例2-4、例2-6 以求得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

(2)将机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2代入式(2-26)得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

若初始条件为零,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2,则系统的响应仅取决于控制作用的激励部分

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

3、系统在一些特定控制下的响应

①脉冲响应

即当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

式中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2同维的常数矢量。

证明:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2函数性质机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

本题中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

② 阶跃响应

即当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2时(机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2表示随时间变化,输入恒为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明: 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2是可以互换的

③ 斜坡响应

即当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

证明:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-2


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