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机械控制

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

时间:2017-09-27 20:55:54   作者:   来源:   阅读:135   评论:0
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合

7-1 序言

一、现代控制理论课程的地位和内容

1、地位:学科基础课。 98年教育部重新审定专业,将原机械类9个专业合并为机械设计制造及其自动化专业,新加入了自动化3个字,强调了自动控制在机械工程学科中的地位,体现了传统机械工程专业向以机、电、控制相结合的现代机械工程专业转变的思想。而自动控制原理(主要内容介绍经典控制理论)和现代控制理论两门姐妹课程构成了整个控制工程学科的基础。所以现代控制理论是学科基础课,而且是重要的学科基础课。

2、内容:广义地讲,几乎包含了整个控制理论。包括多个分支。如线性系统理论、最优控制理论、最优估计理论、系统辨识、自适应控制理论、大系统理论、计算机控制、智能控制理论等。

狭义地讲,现代控制理论主要是以状态空间分析方法为特征的控制理论,主要内容是线性系统理论。我们这门课仅学习线性定常系统的部分内容。(大多数在正常范围的物理系统可用线性模型描述,线性系统可用标准方法求解,线性系统是研究非线性系统等的基础)

经典控制理论和现代控制理论之间的区别及发展(略)

线性系统满足迭加性和其次性

 

经典控制理论

现代控制理论

 

1、研究问题的区别

线性定常系统

线性定常、时变、非线性系统

随机过程

随机过程

随机过程

 

单输入—-单输出系统

多输入—-多输出系统

 

2、研究方法的区别

传递函数(或者微分方程)

状态空间分析法(由状态变量构成的一阶微分方程组)

只研究输入---输出的关系,不包含其他相互独立的中间变量的信息(即不包含系统的所有信息)

输入---输出通过中间变量反映,反映了系统的全部独立变量的变化,即反映了全部内部状态

不便于使用计算机分析和控制

便于使用计算机分析和控制

3、设计控制系统的区别

根据幅值、相位裕度,超调量,调节时间等笼统的性能指标设计校正装置,依赖设计者的经验,不容易实现最优控制

根据控制规律(通常可使性能指标最优),提供解析设计方法由计算机实现

7-2 控制系统的状态空间表达式

一、状态变量及状态空间表达式

    用状态分析方法分析系统,首要任务是选取状态变量和建立系统的数学模型——状态空间表达式

(一)定义

1、状态变量:

    能够完全确定动力学系统运动状态(描述系统时域行为)的最少个数的一组独立变量

注:① 完全确定是指状态变量在t=t0时刻已知时(初始条件),且t机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1t0时输入给定时,那么系统在任何时刻t机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1t0时的行为(输出)可完全确定(因n个独立的初始条件已知时,n阶微分方程有唯一确定的解)

②动力学系统的定义抽象且说法不一,比如;可称其为能储存输入信息的系统

③ n阶系统(即用n阶微分方程描述的系统)有n个独立变量;

④ 状态变量不是唯一的,但数目是唯一的;

2、状态矢量

    由n个状态变量x1(t),x2(t)…xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量,即

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 或机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

   系统是一些部件的组合,这些部件按照一定的规律组合起来完成某项特定任务的物理系统。

    从信息传递的角度看,控制系统是一个信息传递和加工的装置。它既有接受外部输入信息的能力,又有输出人们所需要信息的能力。

    状态是指系统过去、现在、将来的运动状态;是关于系统信息的集合,为了确定系统未来的行为,这些信息是必要的且充分的(不多也不少)。

3、状态空间和状态轨迹

    状态变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为坐标轴所构成的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维空间称为状态空间。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为状态空间的一个初始点,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为状态空间中对应机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1时刻的一个点。当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1在状态空间中形成点的轨迹,称为状态轨迹。

4、状态方程

   由系统状态变量描述系统时域行为(运动状态)的一阶微分方程组称为状态方程。

[例] 建立如图所示R-L-C网络的状态方程。

    解:当给定独立变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定,故选机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为状态变量

由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组,即为状态方程

即 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    写成状态变量的导数在等式左端、状态变量在右端的标准形式,即为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

若令机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1写成矩阵形式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

或 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1(要适应矩阵表达方法)

式中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 

    写出状态方程的步骤:

①确定状态变量(完全、确定的描述系统的最少独立变量个数)

②由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组

③写成状态变量的导数在等式左端、状态变量在等式右端的标准形式。

状态变量的选择是从数学上考虑的,并不一定要在物理上是可测的,但是在设计控制器时往往需要用状态变量的信息作为反馈信号,工程上还是尽量选择容易测量的变量

既然状态是指系统过去、现在、将来的运动状态;是关于系统信息的集合,为了确定系统未来的行为,这些信息是必要的且充分的(不多也不少)。那么,能储存系统过去、现在的运动状态、确定系统将来的运动状态的变量可取做状态变量(储能元件)

5、输出方程

    反映系统输出与状态变量间的函数关系式称为输出方程,对应上例,若输出用Y表示,确定机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1作为输出,则输出方程为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

写成矩阵形式机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

式中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1(或机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

步骤:

①写出输出与状态变量的表达式

②将该表达式写成矩阵形式

6、状态空间表达式

状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。

7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性

如上例 取机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为两个状态变量

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由电路原理(在原状态方程中消去机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    可见在同一系统中,状态变量选取不同时,状态方程也不同。

    状态变量的非唯一性,如果机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1是状态矢量,只要矩阵P是非奇异的(满秩),那么机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1也是状态矢量。

 (二)单输入---单输出线性定常系统状态空间表达式的一般形式

线性:各方程都是关于x和u的线性函数。

定常:各系数均与时间无关。

设状态变量为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,则状态方程的一般形式为:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

输出方程式一般有:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

写成向量矩阵形式的状态空间表达式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

式中       机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维状态矢量

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  为(机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1)维系统矩阵(反映了系统内部状态的联系)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为(机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1)维矩阵(列阵)即为输入矩阵或者控制矩阵(反映了输入对状态的作用)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为(机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1)维输出矩阵,(建立了输出和状态的联系)

(三)多输入---多输出线性定常系统的状态空间表达式

(如具有机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个输入,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个数出)

状态方程一般为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

输出方程一般为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    其状态空间表达式的矢量矩阵形式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    式中  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1-----同单输入系统,分别为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维状态矢量和机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维系统矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1-----为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维输入(或控制)矢量

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1-----为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维输出矢量

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1-----为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维输入(控制)矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1-----为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维输出矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1-----为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维直接传递矩阵(输入直接传递到输出)

一般地(除特别说明),为简单起见,令机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,即不考虑输入矢量的直接传递作用。

二、状态空间表达式的模拟结构图

1、什么是系统方块图及模拟结构图?

    以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。

    用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

2、模拟结构图(由微分方程或状态空间表达式)的绘制步骤:

①确定积分器的数目,积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数;

②每个积分器的输出表示相应的单个状态变量,输入为状态变量的导数;

③根据微分方程或状态方程和输出方程,确定加法器和比例器;

④用箭头将这些元件连接起来。

3、状态空间表达式一般形式的模拟结构图

①单输入------单输出系统 (略,见书)

②多输入------多输出系统 (略,见书)

4、举例(分别由微分方程和状态空间表达式绘制,传递函数绘制简化一阶系统后绘制,可参考下节)

① 画出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的模拟结构图。

解:(略)

② 画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

解:微分方程为三阶,故有3个积分器

⑴先画出3个积分器;

⑵将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式,即为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

⑶其余系数项前的系数分别为各比例器的数值,输入项前的系数为输入比例器的数值,等式右端为4项的代数和,即加法器有4个分支输入。

经过上述分析,不难画出其模拟结构图。

③ 画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    解仿上例

第1步,先画出3个积分器;

第2步,由状态方程所确定的关系连接有关积分器;

第3步,由状态方程的关系式确定的关系,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1来自4路,分别相加;

第4步,画出输出方程的关系。

对二输入二输出系统可仿照参考书,此处从略。

三、状态空间表达式的建立(一)

    状态空间表达式可以由以下3种方式建立

①由系统的方块图,根据系统各个环节的实际连结;

②由(物理、化学、电子等)机理出发进行推导求得;

③由系统运动的微分方程和传递函数。

(一)由系统方块图建立状态空间表达式

①该方法的关键是由方块图机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1模拟结构图;

②取每个积分器的输出作为一个状态变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,其输入是相应的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

③根据实际连接写出状态方程和输出方程。

例1、如图

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

从图可知

状态方程  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

输出方程   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1                   

    写成矢量矩阵形式,系统的状态空间表达式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    对于含有零点的环节,先展开成部分分式,即

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

(二)从系统的机理出发建立状态空间表达式

例 [1-2]  电网络如图所示,输入量为电流源,并指定以电容机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1上的电压作为输出,求此网络的状态空间表达式。

解:取电容机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1上的电压机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1及电感机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1中的电流机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为状态变量。(四个独立储能元件,故有四个独立变量)

即令:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1    机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

从节点a、b、c, 按基尔霍夫电流定律列出电流方程

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

*注:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1流经电容机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

电流,方向从正到负。

流入节点为正;

流出节点为负。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    从三个回路机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,按基尔霍夫定律列出电压方程

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    由以上6式消去独立变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由第2式得:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由第1式得:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1代入4式得,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由3式得,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1代入5式得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由6式机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

从上式解出:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

[例1-3] 题参见书

解:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

取质量块的位移分别为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1; 速度为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由牛顿定律,对机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为脱离体进行受力分析

【不要:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,将机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1代入整理】

也可直接得到: 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

整理即得:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  注机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为输入

指定机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为输出

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

(不讲)[例1-4]  试写出如图所示机械系统的状态空间表达式,

其中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为扭转轴的刚性系数(类似弹簧刚度)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为粘性阻尼系数

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为外扭矩

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1转动惯量

解:选择扭转轴的转角为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1及其角速度为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为状态变量

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由牛顿定律,得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

从而有机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

指定机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为输出,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

整理得:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

[例1-5]

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    如图是直流他励电动机的示意图,写出该系统在电枢电压 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1作为控制作用时的状态空间表达式。

解:流过电感回路的电流机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1和转体的角速度机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为状态变量(转体有两个独立的状态变量,另一个为转角)

即 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由电枢回路知   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   (机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为反电动势)

由动力学方程   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为转矩常数

由电磁感应关系  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1       机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为电动势常数

代入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1关系,得到

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

若指定角速度机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为输出,则机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

若指定电动机的转角机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为输出,则需要增加状态变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

输出方程为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

四、状态空间表达式的建立(二)

    若考虑一个单变量线性定常系统,它的运动方程是一个n阶线性常系数微分方程

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    相应的传递函数为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1      机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    所谓实现问题,就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

注意:1、实现的存在条件是机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

①当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1时,状态空间表达式中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

②当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1时,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1在这种情况下传递函数可写成

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1       

2、实现并非唯一的,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1可以取无穷多种形式

3、若原系统传递函数中分子和分母没有公因子,即不出现零极点对消,虽系统矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的元素取值不同,但其特征根是相同的。通常把这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为最小实现。

(一)传递函数中没有零点时的实现(即没有输入导数项)

在这种情况下,系统的微分方程为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1     (1-22)

相应的系统传递函数为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1        (1-23)

法1: 

将(1-22)移项,并两端同除以机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

令    机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  则    机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

输出方程为  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

表示成矩阵形式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    上述机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1阵为友矩阵,即主对角线上方元素为1;最后一行元素可取任意值;其余元素均为零。

法2:首先将传递函数化成  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 的型式,然后将H所表示的和式画成并联的型式,最后利用相加点移动得到

即:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 

如此G=机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,  H=机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,

注意到H为n项机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1并联,然后利用引出点分别前移n-1、 n-2、机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 、1项得到系统模拟结构图,如书中1-13图所示(引出点前移乘以G,即本处的一个积分器)

例1-6 系统的输入输出微分方程为 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,写出其状态空间表达式。

解:对比标准形式,

因 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

故状态方程为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

输出为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

(二)传递函数中有零点时的实现(即方程中包含输入函数的系数)

    此时,系统的微分方程为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    相应地,系统传递函数为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

实现一:法Ⅰ 为了说明方便,又不失一般性,这里先以三阶微分方程为例进行分析。三阶系统的传递函数为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

令          机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

则  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    即原传递函数机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1可分解为以下二式:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由〈1〉得,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

法Ⅰ:可由上面“1中没有输入系数项命题”求得状态方程及它的输入方程

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 

由〈2〉取拉氏反变换求输出方程

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

而   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

或表示为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

法Ⅱ:当然也可由“1中没有输入系数项命题” 画出其模拟结构图的下半部分再由机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1画出模拟结构图的上半部分,然后求出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

对于n阶系统类似地有

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    相对于“1”可见两者状态方程式相同,不同的是输出方程。因此,可根据传递函数中系数写出状态空间表达式。

实现二:

法1 书中的方法是图1-15将所有系数项等效地处理一个无系数的机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,如此按“1”中方法求解,然后令图1-16(a)和图1-15等效,再将图1-16(a)等效变换成图1-16(b),因图1-16(b)和图1-15等效,并结构完全相同,求得传递函数后,故可求得机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

法2 本题也可直接用数学方法求得。(不讲)

取状态变量为输出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1和输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的多阶导数的适当组合

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

分别用机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1乘上式中的前机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1项,并移项得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1上式左端相加后,即为线性微分方程的左端,因此,上式右端相加后,也应等于线性微分方程的右端。即

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,则自然就有机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1等式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

或记为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

系统状态空间表达式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

注意到上〈*〉式机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

再令状态变量中第一式得,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

[例1-7] 已知系统的输入输出微分方程为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,试写出其状态空间表达式。

解:由微分方程得机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

       机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

状态方程表达式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

(三)多输入----多输出系统微分方程的实现简介(举例)(不讲)

    以双输入—双输出的三阶系统为例,设系统的微分方程为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

注:虽然第一式导数最高阶为2,但式中为求得机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,需要对第一式求导

原式可写为    机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

对每一个方程积分

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    由上面式子,可得模拟结构图(注意一次积分相当一个积分器,两次积分相当两个积分器)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    取每一个积分器的输出为一个状态变量,如图,则根据模拟结构图可列出一种实现,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  

输出:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

写成矩阵形式:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

五、状态向量的线性变换(坐标变换)

(一)系统状态空间表达式的非唯一性

    为什么要进行线性变换?

①说明状态变量不同,但实际可以通过线性交换互相转换;

②交换成标准形式可使后面的研究简化。

选择不同的状态变量,可以得到不同的状态空间表达式。实质上不同的状态变量可以通过非奇异交换实现。

    设系统为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    对于任意状态变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,我们可以找到一个非奇异矩阵(满秩),通过线性变换,将机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1变换为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

令  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 即 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1      机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为变换矩阵(机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为非奇异阵,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1存在)

    代入原状态空间表达式得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

左边乘机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,即得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    因机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为任意非奇异矩阵,故状态空间表达式非唯一。

    新的状态空间表达式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

例1-8 若系统状态空间表达式为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 , 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

解:若取变换矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,则变换后的状态矢量将为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即      机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    亦即新的状态变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1是原始状态变量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的线性组合。

又     机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

       机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    从而得变换后的状态空间表达式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 

    书本2)、3)举了在其他变换矩阵下(我们也可举出任意的非奇异矩阵),可以得到不同的状态空间表达式。以下介绍变换矩阵的求法。为此先研究

系统特征值、特征矢量的求法

(二)系统特征值的不变性及系统的不变量

1、系统特征值的概念

系统      机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

系统特征值就是系统矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征值,也即特征方程:  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的根。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1阶方阵,则机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个特征值;

    实际物理系统中,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为实数方阵,故特征值或为实数,或为成对共轭复数;机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为实数对称方阵,则其特征值都是实数。

2、系统的不变量与特征值的不变性

定理:系统    机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

经非奇异变换后(变换阵为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1),其特征值不变,且特征多项式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的系数机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1也不改变。

证明: 设变换矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为非奇异,则系统可变换为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

其特征方程为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

而    机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

    将特征方程写成多项式形式机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,而特征值完全由特征多项式的系数机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1唯一地确定,而特征值经非奇异变换是不变的,即这些系数机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。

3、特征矢量

    设机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的一个特征值,若存在某个非零矢量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,满足机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,则称机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的对应于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征矢量。

例1-9 试求 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  的特征矢量。

解:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征方程为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即     机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

解之 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

① 对应于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征矢量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

设 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,按特征矢量定义 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

则有 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

亦即 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

解之得 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

令 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 于是 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

②同理,可以算出对应于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1时的特征矢量

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

对应于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1时的特征矢量

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

(三)状态空间表达式变换为对角线标准型和约旦标准型

1、系数矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1具有任意形式

定理:对于线性定常系统,如果其特征值机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1是两两相异的,则必存在非奇异矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,经过变换机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,状态方程化为对角线标准型。

即使    机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

经过变换机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,化为   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 

其中   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

如果特征值包含有机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个重根机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1时,则将状态方程化为约旦标准型

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

证明:①先证特征值无重根

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个互异特征根机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1, 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1对应于这些特征值的特征矢量。

由于特征值机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1互异,故特征矢量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1线性无关。它们构成的矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1必为非奇异,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1存在。

由特征矢量的意义:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

两端左乘机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1得到:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

从而,证得经非奇异矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1交换后,系统矩阵为对角线阵。

②当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征值包含机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个重根时

不加证明地给出变换矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的计算公式如下:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

其中,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1是对应于 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个单根的特征矢量,求法同前,对应于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1重根的各向量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的求得,应根据下式计算

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

显然,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1仍为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1对应的特征矢量,其余机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1则称之为广义特征矢量。

[例1-10] 试将下列状态方程变换为对角线标准型

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

解:机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征值互异,则变换矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

则经机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1变换后各有关矩阵分别为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

变换后的状态空间表达式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

[例1-11] 试将下列状态空间表达式化为约旦标准型。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

解:先求出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征值

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

设对应机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征向量  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由特征矢量的定义 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1  得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 取机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

则得     机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

再求对应于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的另一广义特征向量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,设机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

取 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

则有 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

最后求对应于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征矢量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,设机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,则有

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

得 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

取 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

解得  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

于是得到变换矩阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

为此变换后的矩阵分别为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

变换后的状态空间表达式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

2、机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1阵为友矩阵(注意书中标准型指友矩阵)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

①当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征值无重根时

定理:对线性定常系统,如果其特征值无重根,且系统矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1具有如上矩阵形式(友矩阵)时,则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1可取如下形式(称为范德蒙德Vandermonde矩阵)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

证明:我们知道,相异特征值对应的特征向量组成的矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1是非奇异矩阵。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

任取某一特征值机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,根据特征向量定义,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,即得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由上式可得,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

化简得,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

将这些式子代入上式得,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

如取机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1(任意常数)

则 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

取基本解为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的任意性

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

② 当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征值包含q重根时,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1       机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

总结:讲了四个问题:

①任意的非奇异矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,可以将系统

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1, 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

变换为  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为任意非奇异矩阵,故状态空间表达式非唯一。

新的状态空间表达式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

其中,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

②特征值的求法  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

      ③特征向量的求法  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

      ④ 状态空间表达式线性变换

      ● 当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1矩阵为任意矩阵形式时

         a、特征值互异  机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

         b、特征值包含q个重根机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,其余机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为单根,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

           其中对应于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1重根的各向量机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的求得,

                             机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

           后机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个单根的特征向量求法同前,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

● 当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1矩阵为友矩阵时

       公式如上(略)

3、系统的并联型实现

已知系统传递函数

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1          (1-55)

现将上式展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况:①所有根均互异,②有重根;分别讨论如下。

① 具有互异根的情况

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

式中 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1系统的特征根。

将其展开成部分分式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

其模拟结构图如图或所示,不难看出两种情况均采取积分器并联的结构形式。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

不讲:系数机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的求法如下:

以两阶为例,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

同理机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

取每个积分器的输出作为一个状态变量,系统的状态空间表达式分别为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

现二者均为对角线标准型,因此,对角线标准型的实现是并联的。

②具有重根的情况

设有一个机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1重根机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,其余机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1是互异根。这时机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的部分分式展开式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   (1-60)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

可知系统的一种实现为书中p38图1-19的结构,其中重根取积分器串联的形式,相异根均为积分器并联,重根部分和相异根部分并联。

其状态空间表达式为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

用矢量矩阵形式表示,有:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

六、由状态空间表达式求传递函数

(一)传递函数(矩阵)

1、单输入----单输出系统

已知系统的状态空间表达式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

复习:式中 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1维状态矢量;

*机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1输出和输入,它们都是标量;

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1方阵;机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1列阵;机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1行阵;

*标量,一般为零。

假定初始条件为零,则对状态空间表达式进行拉氏变换有,

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即为 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1间的传递函数为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

它是一个机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的列阵函数。

* 间的传递函数

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1    (1-65)

它是一个标量

2、 多输入机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1多输出系统

①传递函数阵

已知系统的状态空间表达式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

式中 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1输入列矢量;

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1输出列矢量;

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1控制矩阵;

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1输出矩阵;

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1直接传递阵;

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1同单变量系统。

设初始条件为零,同理得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1间的传递函数为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

它是一个机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1矩阵函数。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1间的传递函数是

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1   

它是一个机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1矩阵函数

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

其中各元素机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1都是标量函数,它表征第机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个输入对象机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1个输出的传递关系。当机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1时,如果机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,则意味着不同标号的输入与输出有相互关系,称为有耦合关系,这正是多变量系统的特点。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1还可以表示为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

其中机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1为矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的伴随矩阵

可以看出,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的分母,就是系统矩阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1关于机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的特征多项式,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1的分子是一个多项式矩阵。

②传递函数阵的不变性

状态空间表达式不是唯一的(可以通过各种非奇异变换阵变换),但它的传递函数阵是不变的。说明如下:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1, 则该系统的状态空间表达式变换为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

那么对应状态空间表达式的传递函数阵机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1应为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即同一系统,其传递函数阵是唯一的。

(二)子系统在各种联结时的传递函数阵

由于实际的控制系统,往往由多个子系统组合而成,或并联,或串联、或形成反馈联结。现仅以两个子系统作各种联结为例,推导其等效的传递函数阵。

设系统1为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

简记为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

设系统2为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

简记为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

1、并联联结

①并联联结的意义

所谓并联联结,是指各子系统在相同输入下,组合系统的输出是各子系统输出的代数和,结构简图如图所示。

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

说明:每一子系统内部结构与所讨论结果无关,只要满足二子系统并联联结。

②状态空间表达式(下面以相加为例证明)

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

③传递函数阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

相减时同理

即子系统并联时,系统传递函数阵等于子系统传递函数阵之和。

2、串联联结

①串联联结的含义:即一个子系统的输出为另一个子系统的输入,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,结构图如下:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

②状态空间表达式

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

组合系统的状态方程为:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

输出方程为

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

③传递函数阵

法1 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

法2 见尤昌德书p58及线代p134,习题3

3、具有输出反馈的系统

①输出反馈的含义:即一个子系统的输出反馈到另一个子系统的输入端,且这个子系统的输入为另一个子系统的输出,即机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1,其结构图如下:

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

②状态空间表达式(为简单起见,设机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

整理得到, 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

输出为:   机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

③传递函数阵

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

注意到只需求出机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1即可,因为机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1这两个矩阵,机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

而根据逆矩阵的定义,故有

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

从而得机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

由上二式解得

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

即 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

于是 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

所以有 机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

同理也可以求得机械控制理论-(7)线性定常系统的状态空间分析与综合-1

 


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