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机械控制

机械控制理论-(4)频率响应分析法

时间:2017-09-24 21:58:54   作者:   来源:   阅读:349   评论:0
第四章 频率响应分析法

    上一章对系统进行了时域分析,即通过拉氏变换与反拉氏变换,求系统的响应,进一步分析系统的性能指标,判断系统的动态特性。但表征系统的特性并不仅限于时域。本章从频域角度对系统进行分析。

    应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。它不必直接求解系统的微分方程,而是间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。其也是一种图解法。

4-1 频率特性

1、频率特性的概念

※ 频率响应:系统对正弦输入信号的稳态响应。

    对于线性系统,当输入为一正弦信号r(t)=Asinwt,可能证明,该系统的稳态输出为同频率的正弦信号c(t)=Bsin(wt+机械控制理论-(4)频率响应分析法),但其振幅和相位一般均不同于输入量,且随着输入信号频率的变化而变化,如图所示。

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频率特性:系统在不同频率的正弦信号输入时,其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。(当不断改变输入正弦的频率时,该幅值比和相位差的变化情况称为系统的频率特性。)

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频率特性是关于w的复变函数,  机械控制理论-(4)频率响应分析法

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其中,u(w)称为系统的实频特性,v(w)称为系统的虚频特性

A(w)称为系统的幅频特性,机械控制理论-(4)频率响应分析法称为系统的相频特性。

幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。

2、频率特性的求法

    常用的有三种方法:

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1)利用在已知系统的微分方程或传递函数的情况下,当输入为正弦函数时,求其稳态解,再求G(jw)

例:求一阶系统 的频率特性 及在正弦信号xi(t)=Xsinwt作用下的频率响应。

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其稳态响应为:机械控制理论-(4)频率响应分析法

可看出,系统的稳态输出与输入及频率相同的正弦信号,但其幅值与相角与输入不同。

将稳态输出与输入的幅值之比,称为幅频特性,

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将稳态输出与输入的相角称为相频特性

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则系统的频率特性为:

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2)利用将传递函数中的s换为jw来求取

以上例,机械控制理论-(4)频率响应分析法

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其输出的稳态响应为:

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实际上,频率特性就是传递函数的一种特殊情况,即机械控制理论-(4)频率响应分析法机械控制理论-(4)频率响应分析法

3)实验法:是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。

如果在不知道系统的传递函数或数学模型时,只有采用实验法。

3、频率响应的特点

    时域分析的缺陷

※ 高阶系统的分析难以进行;

※ 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响;

※ 当系统某些元件的传递函数难以列写时,整个系统的分析工作将无法进行。

频率特性的优点:

※ 无需求解微分方程,图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向;

※ 易于实验分析;

※ 可推广应用于某些非线性系统(如含有延迟环节的系统);

※ 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

4-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)(Bode diagram or logarithmic plot)

1、对数坐标图

    对数频率特性曲线,由两张图组成:一张是对数幅频特性,它的纵坐标为

机械控制理论-(4)频率响应分析法,单位是分贝,用符号机械控制理论-(4)频率响应分析法表示。机械控制理论-(4)频率响应分析法常用机械控制理论-(4)频率响应分析法表示。另一张是相频特性图。它的纵坐标为(°),两张图的纵坐标均按线性分度。

横坐标是角速率机械控制理论-(4)频率响应分析法,采用机械控制理论-(4)频率响应分析法分度(为了在一张图上同时能展示出频率特性的

低频和高频部分,即在较宽的频率范围内研究系统的频率特性)。故坐标点机械控制理论-(4)频率响应分析法不得为零。1到10的距离等于10到100的距离,这个距离表示10倍频程,用dec表示。

优点:

    j幅频特性的乘除运算转变为加减运算。

    k对系统作近似分析时,只需画出对数幅频特性曲线的渐进线,大大简化了图形的绘制。

    l用实验方法,将测得系统(或环节)频率响应得数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线,估计被测系统的传递函数。

④对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围。

⑤两个系统或环节的频率特性互为倒数时,其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称,相频特性曲线关于零度线对称。

    几点说明

※ 在对数频率特性图中,由于横坐标采用了对数分度,因此ω=0不可能在横坐标上表示出来,横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定;此外,横坐标一般只标注ω的自然数值;

※ 在对数频率特性图中,角频率ω变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念:频率变化十倍的区间称为一个十倍频程,记为decadedec;频率变化两倍的区间称为一个二或简写为

倍频程,记为octaveoct。它们也用作频率变化的单位。或简写为

可以注意到,频率变化10倍,在对数坐标上是等距的,等于一个单位。

※ 通常用Lω)简记对数幅频特性,也称Lω)为增益;用机械控制理论-(4)频率响应分析法简记对数相频特性。((

2、各种典型环节的伯德图

1)比例环节

比例环节的伯德图:

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当改变传递函数的K时,会导致传递函数的对数幅频曲线升高或降低一个相应的常值,但不影响相位角。

2)积分环节

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当w=1时,L(w)=0

当w=10时,L(w)=-20

当w=100时,L(w)=-40

可看出,积分环节的对数幅频图为一条直线,此直线的斜率

机械控制理论-(4)频率响应分析法

为–20dB/dec,对数相频图为

等于-90o的一条直线。

同理,当系统包含两个积分环

节时,L(w)=-40lgw

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3)理想微分环节

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同理,当系统含有两个微分环节时,L(w)=40lgw ,机械控制理论-(4)频率响应分析法

4)惯性环节

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理论上,此时可采用描点法,当w从机械控制理论-(4)频率响应分析法时,计算出相应的L(w)机械控制理论-(4)频率响应分析法来画图,但工程上常采用近似法来画幅频曲线。

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即低频段可近似为0dB的水平线,称为低频渐近线。

机械控制理论-(4)频率响应分析法

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    即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线,称为高频渐近线。

    低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点ω=1/T,称为转折频率(截止频率)。

    在转折频率处,L(ω)=机械控制理论-(4)频率响应分析法≈ -3.03dB,机械控制理论-(4)频率响应分析法=-45°

惯性环节具有低通滤波特性。

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5)一阶微分环节

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一阶微分环节的Bode图

    注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数( τ = T ),根据对数频率特性图的特点,一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于0dB 线对称,相频特性曲线关于零度线对称。

显然,一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。

由对数幅频特性曲线可见,一阶微分环节对高频信号有较大的放大作用,这意味着系统抑制噪声能力的下降。

6)振荡环节

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即低频渐近线为0dB的水平线。

高频段(ω>>ωn)

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高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。

两条渐近线的交点为ωn。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。

对数相频特性

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由图可见,当ξ 较小时,由于在ω= ωn 附近存在谐振,幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差, ξ 越小,误差越大。

7)二阶微分环节

机械控制理论-(4)频率响应分析法

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注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数( τ=1/ ωn ),根据对数频率特性图的特点,二阶微分环节与振荡环节的对数幅

频特性曲线关于0dB 线对称,相频特性曲线关于零度线对称。

8)延迟环节

机械控制理论-(4)频率响应分析法

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可见,对数幅频频曲线为0分贝线,相频曲线随w变化。

3、绘制系统伯德图的一般步骤

1)将开环传递函数表示为典型环节的串联:

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即将常数项都化为1

2)确定各环节的转折频率,并由小到大标示在对数频率轴上

3)分别画出各环节的对数幅频、相频曲线

4)进行叠加

例:已知系统的开环传递函数如下:

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试绘制系统的开环伯德图。

解:机械控制理论-(4)频率响应分析法

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Bode图特点

※ 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v,斜率为-20v dB/dec。

※ 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为:

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当ω=1 rad/s时,L(ω)=20lgK,即最低频段的对数幅频特性或其延长线在ω=1rad/s时的数值等于20lgK。

※ 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示,则对数幅频特性为一系列折线,折线的转折点为各环节的转折频率。

※ 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点,其斜率相应发生变化,斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。

    对惯性环节,斜率下降20dB/dec;振荡环节,下降40dB/dec;一阶微分环节,上升20dB/dec;二阶微分环节,上升40dB/dec。

4、根据伯德图求取系统的传递函数

    一般步骤:

※确定对数幅频特性的渐近线。

※根据低频段渐近线的斜率,确定系统包含的积分(或微分)环节的个数。

※根据低频段渐近线或其延长线在ω= 1rad/s的分贝值,确定系统增益。

    注意到系统低频段渐近线可近似为:

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    若系统含有积分环节,则该渐近线或其延长线与0dB线(频率轴)的交点为:

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    即也可由该交点处的频率数值获得系统增益。若系统不含积分环节,低频渐近线为20lgKdB的水平线,K 值可由该水平渐近线获得。

※根据渐近线转折频率处斜率的变化,确定对应的环节。

※获得系统的频率特性函数或传递函数。

例:已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。求系统的传递函数。

机械控制理论-(4)频率响应分析法

解:系统低频段斜率为-20dB/dec,v=1。注意到,(lg0.1,20)和(lg1,20lgK)两点位于斜率为-20dB/dec的直线上。由:

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系统存在三个转折频率:0.1、1和20rad/s。对应的典型环节分别为:

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综上所述,系统传递函数为:

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