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机械控制

机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

时间:2017-09-24 21:49:04   作者:   来源:   阅读:273   评论:0
第三章 线性系统的时域分析

    对于一个实际的系统,在建立数学模型之后,就可以采用不同的方法来分析和研究系统的动态性能。本章的时域分析就是其中一种重要的方法。

    时域分析法是直接求解系统的微分方程, 即利用拉氏变换和拉氏反变换求解,然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能。这种方法结果直观,应用范围广。

    本章主要介绍系统的时间响应及其组成,并对一阶、二阶系统的典型时间响应进行分析,最后介绍系统的误差与稳态误差的概念。

3-1 时间响应

    时间响应的概念

    系统在外加作用激励下,其输出量随时间变化的函数关系,称之为系统的时间响应。通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。

   任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两个部分组成。

瞬态响应:系统受到外加作用激励后,从初始状态到最终状态的响应过程。

稳态响应:时间趋于无穷大时,系统的输出状态。

    瞬态响应反映了系统动态性能。

    稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统的精确程度。

3-2  一阶系统的时间响应

1、一阶系统的数学模型

    用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。

a图示的RC电路,其微分方程为

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机械控制理论-(3)线性系统的时域分析    机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

其中C(t)为电路输出电压,r(t)为电路输入电压,T=RC为时间常数。

机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

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    一阶系统电路图、方块图及等效方块图

    当初使条件为零时,其传递函数为

机械控制理论-(3)线性系统的时域分析          T-时间常数   

    下面分别就不同的典型输入信号,分析该系统的时域响应。

2、一阶系统的单位阶跃响应(Unit-Step Response of First-order System)

因为单位阶跃函数的拉氏变换为机械控制理论-(3)线性系统的时域分析,则系统的输出为

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对上式取拉氏反变换,得机械控制理论-(3)线性系统的时域分析机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

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    一阶系统单位阶跃响应的特点

※ 响应分为两部分

    瞬态响应:机械控制理论-(3)线性系统的时域分析机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

    表示系统输出量从初态到终态的变化过程(动态/过渡过程)

稳态响应:1

    表示t→∞时,系统的输出状态

※ xo(0) = 0,随时间的推移, xo(t) 指数增大,且无振荡。xo(∞) = 1,无稳态误差;

※ xo(T) = 1 - e-1 = 0.632,即经过时间T,系统响应达到其稳态输出值的63.2%,从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T;

※ 当t=0时,初始斜率为机械控制理论-(3)线性系统的时域分析机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

※ 时间常数T是重要的特征参数,它反映了系统响应的快慢。T越小,C(t)响应越快(上升速度越快),达到稳态用的时间越短。即系统的惯性越小。反之,T越大,系统的响应速度越慢,惯性越大,达到稳态用的时间越长。

※ 通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时,认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。

3、一阶系统的脉冲响应

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    当输入信号为理想单位脉冲函数时,Xi(s)=1,输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同,即

机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

    一阶系统单位脉冲响应的特点

※ 瞬态响应:(1/T )e– t /T ;稳态响应:0;

※ xo(0)=1/T,随时间的推移,xo(t)指数衰减;

※ 机械控制理论-(3)线性系统的时域分析

※ 对于实际系统,通常应用具有较小脉冲宽度(脉冲宽度小于0.1T)和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。

※ 同样满足上述规律,即T越大,响应越慢,无论哪种输入信号都如此。

对于一阶系统:

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即:系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。

此规律是线性定常系统的重要特征,不适用于线性时变系统及非线性系统。


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